高等数学极点极线_极点极线做高考数学

1.如何判断二次曲线是否存在极点和极线？

2.圆的极点极线定理

3.极点极线的定义

极点：如果曲线的切于A,B两点的切线相交于P点,那么P点称为直线AB关于该曲线的极点(pole),直线AB称为P点的极线(polar). 极点和极线的思想是曲线上点和过该点切线的思想的一般化.任何一点关于一般的代数曲线都有一条极线,每一条直线都有一个极点.如果点在这条曲线上,那么极线就是曲线过该点的切线.

极线：在数学中， 如果曲线的切于A,B两点的切线相交于P点,那么P点称为直线AB关于该曲线的极点(pole),直线AB称为P点的极线(polar). 极点和极线的思想是曲线上点和过该点切线的思想的一般化.任何一点关于一般的代数曲线都有一条极线,每一条直线都有一个极点.如果点在这条曲线上,那么极线就是曲线过该点的切线.

如何判断二次曲线是否存在极点和极线？

圆锥曲线极点极线定理如下：

极线

在数学中，极线通常是一个适用于圆锥曲线的概念，如果圆锥曲线的切于A,B两点的切线相交于P点，那么P点称为直线AB关于该曲线的极点(pole)，直线AB称为P点的极线(polar)。

但是上面定义仅适用于P点在此圆锥曲线外部的情况。实际上，在P点在圆锥曲线内部的时候同样可以定义极线，这时我们可以认为极线是过P点做此圆锥曲线两条虚切线切点的连线.特别的，如果这个圆锥曲线是一个圆，我们同样有圆的极线和极点的概念。

极线的几何性质

对于圆锥曲线,两个点的切线的交点的极线即这两点的连线。此外，过不在圆锥曲线上任意一点做两条和此曲线相交的直线得出四个点，那么这四个点确定的四边形的对角线交点在该点的极线。我们也可以把这个性质作为圆锥曲线的极线的定义。

而当一个动点移动到曲线上，那么它的极线就退化为过这点的切线，所以，极点和极线的思想实际上是曲线上点和过该点切线的思想的一般化。

极线的代数形式

对于一般的圆锥曲线,我们可以将它的方程写成矩阵形式

[x,y,1]A[x,y,1]^T=0

其中[x,y,1]^T表示这是一个列向量,其中A是一个3*3矩阵.那么对于平面上任意一个点(x0,y0)，其对应极线方程即[x0,y0,1]A[x,y,1]^T=0。而这个同圆锥曲线的切线方程也是一致的。

反演变化中的极线

在反演变换中，如果反演中心为O，P点经过反演变换后得到P'，则过P'垂直PO（O、P、P'共线）的直线称为P点的极线(polar)，P称为该直线的极点(pole)。实际上,这个定义同前面圆锥曲线的极线和极点是一致的,只是这里的圆锥曲线取为这个反演变换的反演圆。

圆的极点极线定理

二次曲线的极点和极线是二次曲线的两个重要概念。极点是指曲线上的一点，它的切线方向函数的导数等于0。而极线则是指不在二次曲线上的一点P作直线交二次曲线于点M,N，直线上另有一点Q满足(P,Q;M,N)为一组调和点列，则点Q的轨迹为直线l（或其一部分），称点P关于二次曲线的极线为直线l，点P为直线l的极点。

判断二次曲线是否存在极点和极线，可以通过计算导数来判断。如果二次曲线在某个点处的导数为0，则该点为极点；如果二次曲线在某个点处的导数不为0，则该点不是极点。对于极线，可以通过构造调和点列来判断是否存在。

极点极线的定义

圆的极点极线定理如下：

圆的极点极线定理是解析几何中重要的一条基本定理，它在计算圆的参数方程、点到圆的距离等方面有着广泛地应用。

圆的极点是指在平面直角坐标系中，对于给定的圆和一条直线，在该直线上的每个点均可由过圆上两点的直线所确定。极线是指在平面直角坐标系中，对于给定的圆和一条直线，经过圆与该直线相切的所有直线所构成的集合。

圆的极点极线定理即为：对于给定的圆，若在平面直角坐标系中选取一点作为极点，则该点到圆上任一点的连线所在直线即为该点的极线；相反地，对于一条直线，如果经过圆与该直线相切的所有直线所构成的集合，即所有极线所组成的图形为一个点，则该点是圆的极点。

理解此定理时，需要掌握“极”字的含义，即使通过该点与圆上另一点相连的直线恰好穿过该点所在的该条直线，就称该点为圆在该直线上的极点，该点与圆在该直线上所对应的线段为极线。因此，圆的极点具有对应一条唯一的极线，而一条直线上只有唯一一个极点。

例如，在解析几何中，我们可以将变换后的圆转化成标准方程，使用圆的极点极线定理计算圆的参数方程。同时，我们也可以通过极点极线定理求解一个给定的圆和直线的交点位置，或者求出离圆最远的点在哪里。

总之，圆的极点极线定理是解析几何中的基本定理之一，为圆与直线间的计算提供了便利。通过深入理解它所表达的数学原理，我们能够更好地利用它完成几何计算，解决具体问题。

极线的几何性质如下：

1、射影平面内的任意一点对于固定的二次曲线C，有且只有一条极线。反之，射影平面内的任意一条直线对于固定的二次曲线C，有且只有一个极点。这可以由定义直接推导出来。

2、（配极原则）对于同一条二次曲线C，如果点P的极线经过点Q，那么点Q的极线经过点P。反之，如果直线p的极点在直线q上，那么直线q的极点在直线p上。

3、两点连线的极点是这两点的极线的交点；两直线交点的极线是这两直线的极点的连线。设有两点A、B，各自的极线交于C，则根据配极原则，C在A的极线上?A在C的极线上。同理，B在C的极线上。由两点确定一条直线可知AB是C的极线，即C是AB的极点。类似可证后者。

极点：不在二次曲线上的一点P作直线l交二次曲线于M、N两点，则在l上有且只有一点Q，使得(PQ，MN)=-1（即P、Q、M、N构成一调和点列）。当l绕着P旋转时，Q的轨迹是一条直线p（或一部分），这条直线p叫做点P关于二次曲线的极线，而P叫做p关于该曲线的极点。

如上图，以椭圆为例，P为椭圆C外一点，过P的动直线f交C于M、N两点，则在f上有且仅有一点Q，使得|MQ||NP|=|MP||NQ|（即P、M、Q、N构成调和点列）。当f绕着P旋转时，Q的轨迹是直线L（或一部分），直线L叫做点P关于C的极线，而P叫做L关于该曲线的极点。