高考抛物线真题_高考抛物线秒杀结论

1.解析几何的常用方法：平方差法（点差法）

2.2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）最后一题22题，关于抛物线的问题，求详细的思路和解题过程

3.抛物线高考题

解析几何的常用方法：平方差法（点差法）

1, 抛物线y=x^2+2ax+b和x轴交于A,B两点,要使抛物线的顶点在以AB为直径的圆内

抛物线:y=x^2+2ax+b=(x+a)^2+b-a^2，顶点C(-a,b-a^2),b=a^2，抛物线与X轴相切，故|b-a^2|>0

y=0,x^2+2ax+b=0

x=-a±√(a^2-b)

A[-a-√(a^2-b),0],B[-a+√(a^2-b),0]

|AB|=2√(a^2-b),b<a^2

AB为直径的圆D，r（D）=√(a^2-b)

顶点在以AB为直径的圆D内，则AC=BC,∠ACB≥90°，即0<|CD|≤rD

|CD|=|b-a^2|

0<|b-a^2|≤√(a^2-b)

b≤a^2

0<a^2-b≤√(a^2-b)

0<(a^2-b)^2≤a^2-b

a,b应满足关系式:a^2>b≥a^2-1

2,已知抛物线y=x^2-1上一定点B(-1,0)和两动点P,Q,当点P在抛物线上运动时,BP⊥PQ,则点Q的横坐标取值范围是

yP=(xP)^2-1,yQ=(xQ)^2-1

k(BP)=yP/(xP-xB)=[(xP)^2-1]/(xP+1)=xP-1

k(PQ)=[(yQ-yP)/(xQ-xP)]=[(xQ)^2-(xP)^2)]/(xQ-xP)=xQ+xP

BP⊥PQ

k(BP)*k(PQ)=-1

(xP-1)*(xQ+xP)=-1

(xP)^2+(xQ-1)xP+1-xQ=0

△≥0

(xQ-1)^2-4*(1-xQ)≥0

(xQ)^2+2xQ-3≥0

(xQ+3)*(xQ-1)≥0

Q的横坐标取值范围是:xQ≥1,xQ≤-3

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）最后一题22题，关于抛物线的问题，求详细的思路和解题过程

平方差法又称为点差法，该方法的核心是平方差公式：

在涉及圆锥曲线与弦的关系时，该公式往往具有很好的效果。而且，对于各类圆锥曲线，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线，该方法都适用。

点差法以及由点差法推导得出的一些常用结论，属于高考数学中的高频考点，务必要重视。

以 表示椭圆上两个不同的点

两式相减可得：

当然，也可以写成：

其中， 代表弦 的中点。

解读公式

以上公式可以用文字解读如下：

这是一个重要的常用结论，也是高频考点。

真题实例

2015年的全国卷二中，直接把以上常用结论的推导过程作为考题。详见：

2015年文数全国卷B题20

还有更多考题，则是在解答过程中需要应用上述结论：

2010年文数全国卷题20

2010年理数全国卷题20

2013年文数全国卷B题20

2020年理数全国卷A题20

抛物线的方程：

因为 两点在抛物线上，所以，

，

记 中点为 ，则

或：

解读公式

以上公式可以用文字表述如下：

对于以 轴为对称轴的抛物线，以下结论成立：

（1）抛物线的弦的斜率与弦的中点的 坐标的乘积等于焦距 .

（2）同一组平行的弦（斜率相等），中点位于同一条垂直于 轴的直线上。

（3）根据抛物线的弦的斜率，可以算出弦的 坐标；反之亦然。

真题实例

2018年数学全国卷B题20

2017年理数全国卷C题20

1987年全国卷题21

抛物线的方程：

因为 两点在抛物线上，所以，

，

记 中点为 , 则

或：

解读公式

以上公式可以用文字表述如下：

解读公式

以上公式可以用文字表述如下：

对于以 轴为对称轴的抛物线，以下结论成立：

（1）抛物线的弦的斜率与弦的中点的 坐标的乘积等于焦距 .

（2）同一组平行的弦（斜率相等），中点位于同一条垂直于 轴的直线上。

（3）根据抛物线的弦的斜率，可以算出弦的 坐标；反之亦然。

真题实例

2017年文数全国卷A题20

若圆 的方程为：

两点在圆上，并记 中点为 , 则

也就是说： . 实际上是用解析的方法得出了垂径定理。

如图所示，抛物线方程为： , 为抛物线的弦. 保持弦 的斜率不变，并向左移动，则其中点 的 坐标不变，同时 三点不断地靠近，最终变为一点. 这时，直线与抛物线只有一个公共点，直线也由抛物线的弦变为切线。

换言之，如果作一条与切线平行的弦，则弦的中点的 坐标与切点的 坐标相等。

若切点坐标为 , 则

切线的方程为：

同样的道理，如果抛物线的方程为： , 则

切线的方程为：

平方差法可以发挥什么样的作用？

平方差法（点差法）的作用，概括地说，就是将弦的斜率与弦的中点坐标关联起来，可以解决的问题有好多：

（1）弦长问题

（2）求弦的中点的轨迹方程

（3）求弦的斜率范围

（4）求切线的方程

（5）定点问题

从前面的真题实例可以看出，这一方法在高考中用到的机会是很多的。

抛物线高考题

本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,体现了分类讨论的数学思想。答案看其实这题也就是中档题吧，不算太难

已知抛物线C：y^2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=5/4|PQ|．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．

BF=2，易得B的横坐标为3/2

3/2<√3

即点B应该在点M的左边

所以你这张图是错的，你这张图对应的应该是点B在x轴上方，点A在下方

而你这个解题过程对应的是：点B在x轴下方，点A在x轴上方

此时，直线的斜率应该是大于0的

两种做出来的答案是一样的，自己去试试看吧~~

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O