罗尔定理在高考_罗尔定理在高中数学的应用

1.通俗解释一下拉格朗日定理，和罗尔定理（大体明白）， 。 。 不要百度上BLABLABLA一大串无用

2.验证罗尔定理对函数y=lnsinx在区间[派/6，5派/6]上的正确性

3.3.罗尔定理为何不说f(x)在[a,b]可导

4.若f(x)在区间[0,2]连续

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函数f(x)满足条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。这样会使成立条件范围进一步缩小，因为原定理并没有强制要求两端点导数存在，也就是说原函数没必要在两端点各多存在一个左导数与右导数。

解析：

该定理给出了导函数连续的一个充分条件。必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。

函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。

通俗解释一下拉格朗日定理，和罗尔定理（大体明白）， 。 。 不要百度上BLABLABLA一大串无用

三者都是在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）上可导，但罗尔定理需要函数两端点的函数值相等，拉格朗日定理不需要这个条件，柯西定理是对于两个函数来说的，前两个只针对一个函数。

罗尔定理：若函数f（x）满足条件（1）在闭区间[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）上可导，（3）在区间两端点的函数值相等，即f（a）=f（b)，则至少存在一点δ∈（a，b）使f ’（δ）=0.

拉格朗日定理：若函数f（x）满足条件（1）在闭区间[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）上可导，则至少存在一点δ∈（a，b）使f（b）=f（a）+f ’（δ）（b-a）

柯西定理：若函数f（x）和g（x）满足条件（1）在闭区间[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）上可导，（3）在（a，b）内任意一点处g ‘（x）都不等于0，则至少存在一点δ∈（a，b）使（f（b）-f（a））/（g（b）-g（a））=f ’（δ）/g ’（δ）

验证罗尔定理对函数y=lnsinx在区间[派/6，5派/6]上的正确性

用几何意义理解比较通俗易懂

罗尔定理是两点高度相同中间会有一个极值点导数是0

拉格朗日中值定理可以看成是中间有点的导数值等于连接起点终点直线的斜率，就是中间那一点的切线斜率等于连接那两点直线的斜率（就是平行了）

以上是大致思想了，有些不严格，更深入了解要看教科书。

一个简单的例子

3.罗尔定理为何不说f(x)在[a,b]可导

f(x)＝lnsinx是初等函数，在[π/6，5π/6]上有定义，所以f(x)在[π/6，5π/6]上连续.

在定义域内，f'(x)＝tanx，所以f(x)在(π/6，5π/6)内可导.

f(5π/6)＝f(π/6)＝ln(1/2).

由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(π/6，5π/6)，使得f'(ξ)＝0.

而f'(π/2)＝0，π/2∈(π/6，5π/6).

所以罗尔定理对函数y=lnsinx在区间[π/6，5π/6]上正确.

若f(x)在区间[0,2]连续

我想可从这个角度加以说明：数学中的定理，总是希望以尽可能弱的条件得到更一般化的结论，因此若能在更弱的条件下成立的结论就当然不必用有更多限制的条件。

对罗尔定理，它只要求f(x)在开区间(a,b)可导，这是比在[a,b]可导更弱的一个条件，即它不要求函数在两个端点处可导。举个例子：考虑函数y=√(1-x^2)（即圆心在原点的单位圆的上半部分），虽然这个函数在两个端点处的导数不存在（为无穷大，这可从这两个端点处的切线垂直于x轴得到说明），但显然它在x=0处的导数为0（即在x=0处的切线平行于x轴），即罗尔定理的结论是成立的。故要使罗尔定理结论成立不必要非要要求在两个端点处可导。

因为f(0)=f(1)，所以根据罗尔定理，在(0,1)上存在一点a，使得：f'(a)=0

因为f(1)=f(2)，所以根据罗尔定理，在(1,2)上存在一点b，使得：f'(b)=0

又根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点c，使得：f''(c)=0

因为c∈(a,b)?(0,2)，原题得证